Architecture ou Musique ? Peinture ou Sculpture ?

Lequel de ces arts aurait, le premier, contribué à féconder les Mathématiques, ou bien, à rebours, aurait puisé dans cet art intellectuel et bien avant ses rivaux, techniques et inspiration? Sans aucun doute, d'agréables conversations, érudites et fort animées, contribueront à forger des réponses à ces questions. Le fait est que, dans le cours de l’histoire, le développement des arts classiques a été concomitant avec celui des mathématiques.

Ainsi, l'époque de la Renaissance a été particulièrement féconde avec la redécouverte des polyèdres et la création de la théorie de la perspective linéaire. Les tableaux et gravures de ce temps sont nombreux qui illustrent ces avancées de la science, et témoignent de la symbiose entre peinture et mathématiques: souvenons nous par exemple de la fameuse gravure au burin de Dürer intitulée « Mélancolie » (1513-1514), si riche par son contenu et par ses allusions, souvenons-nous aussi du magnifique tableau de Jacopo de Barbari (musée de Naples) : le personnage central en est Luca Pacioli, le mathématicien du XVième siècle auteur d'un ouvrage célèbre illustré par Léonard de Vinci, Divine proportion.

Le XIXième siècle développe la Géométrie différentielle, introduit la Topologie etl'Algèbre dans son sens moderne : de nouveaux objets mathématiques sont créés.Surface de Scherk, Bouteille de Klein, Cubique de Cayley, Plan hyperbolique, sont quelques noms d'objets familiers pour les mathématiciens, et que l'on découvre alors. Il faudra attendre un bon siècle pour que les artistes s'emparent de quelques-uns de ces objets ou de ceux de leurs familles.Salvador Dali, avec sa toile représentant l'hypercube, Mauritz Escher utilisant la richesse des pavages du plan hyperbolique font figure de pionniers géniaux.

De très nombreux nouveaux objets mathématiques font leur apparition au coursde la seconde moitié du XXième siècle : les familles des nœuds et des surfaces minimalespar exemple s°accroissent considérablement. Le lecteur pourra consulter le site www. isama.org où il découvrira, peut-être avec surprise, le très grand nombre d'artistes, peintres, sculpteurs ou architectes, qui ont trouvé la matière de leurs oeuvres dans cet univers mathématique récent.

Par la beauté de leurs réalisations, par leur renommée, ces artistes contribuentainsi à faire connaître à tout un chacun des formes originales et inattendues, la puretéde leurs lignes, la perfection de leur équilibre, l'étonnante diversité de ces objets mathématiques, incarnés dans la pierre éclatante, dans le métal étincelant, ou révélés par le dessin, par le jeu des couleurs, gaies, vives et chatoyantes.

L'art mathématique contribue ainsi à renouveler l'art plastique. Et nul doutequ'au fil du temps plus nombreux seront les artistes à trouver une part de leur inspirationauprès des œuvres mathématiques. Cette exposition, la première dans son genre peut-être, en annonce sans doute d°autres dans le futur et dans la même veine. Mais également, en dévoilant son étendue, en révélant le caractère très concret et fascinant de son contenu, une telle exposition contribue à réconcilier le public avec le monde mathématique, dont l'image reste encore souvent faussée par le jugement mal fondé. L'exposition présente aussi un intérêt de curiosité qui pourrait inciter de jeunes ou de moins jeunes mathématiciens à approfondir la connaissance de leur univers de travail et de passions, à engager de nouvelles recherches.

L’un des traits évidemment marquant d'un grand nombre d'œuvres qui sontprésentées est l'absence de référence immédiate aux objets familiers. Que ce soient les œuvres des mathématiciens artistes en particulier n'est guère étonnant. D'aucuns seront acquis au caractère acéré de leur beauté. D'autres préfèreront peut-être des œuvres plus chargées d'affects, où le monde sensible est présent, en même temps que s'y déploient les créations de l'imagination. proprement humaine.

Les exposants dont le visiteur va rencontrer les œuvres sont tous des mathématiciens, à l'exception quand même de six d'entre eux, Philippe Charbonneau, dessinateur, Jean-François Colonna, informaticien, Patrice Jeener, graveur, Jean Constant, Irène Rousseau et Dick Termes qui sont peintres.

Les soubassements mathématiques des œuvres sont parfois très distincts. George Hart expose deux de ses polyèdres originaux : la géométrie classique et la théorie des groupes sont à l'arrière-plan de ces œuvres. Les carrelages de surfaces planes sont appelés pavages par les mathématiciens. Mike Field, faisant appel à cette même théorie des groupes et à la théorie assez récente des singularités au sein de celle des systèmes dynamiques, nous éblouit par des pavages du plan totalement inédits et captivants tant dans leur dessin que dans leur texture, par ailleurs très riche. C’est encore un pavage du plan usuel, mais dit à la Penrose, c’est-à-dire présentant de savantes irrégularités, que montrent Bill Casselman et son collègue David Austin; un effet de moiré surprend et réjouit l'oeil.

On trouvera, dans ce catalogue, la plus récente des images de couverture des Notices de l'American Mathematical Society, celle de décembre 2004, parfaite pour faire briller les yeux des enfants pendant cette période des fêtes de Noël ; David Wrightnous fait voir un remplissage du plan hyperbolique évoqué plus haut avec des petits disques aux couleurs vives.

Les œuvres suivantes ont trait à un autre chapitre des mathématiques, la géométrie moderne ici penchée sur la théorie des surfaces et celle de leurs extensions dans les espaces à plusieurs dimensions, sur leurs propriétés topologiques. On retrouve l'image d'une très belle sculpture de John Robinson, épurée, celle d'un objet que les mathématiciens appellent un nœud, en l'occurrence le nœud de trèfle. Les mathématiciens savent retourner la sphère sans la plier ni la déchirer : François Apéry et John Sullivan montrent, ou par des sculptures métalliques étincelantes d'une conception tout à fait originale, ou par des images étoffées à la manière des tapisseries, des moments privilégiés de ce retournement.La notion d'extrémalité, qui n'est pas sans lien profond avec celles de stabilité, d'optimalité et de symétrie, est très présente dans leurs réalisations, tout comme dans les gravures de Patrice Jeener où la contemplation statique (vue de Chalancon, hypercube) s'oppose au regard dynamique (oliviers et surfaces minimales), par nature beaucoup plus vif et vivant. La géométrie dite algébrique, car elle fonde ses démonstrations sur les propriétés structurales des objets mathématiques, n'est pratiquement ici représentée que par une seule œuvre, très élégante et lumineuse, celle de Philippe Charbonneau. De leur côté, Thomas Banchoff et Davide Cervone ont consacré ces quinze dernières années l'essentiel de leurs activités, dans les domaines de la topologie et de la géométrie, à la visualisation d'objets et de phénomènes présents dans des espaces de dimension parfois plus élevée que celle de l'espace usuel, et aux formes souvent inhabituelles. Ces visualisations, par leur beauté intrinsèque, ne peuvent que stimuler la créativité artistique, elles aident aussi les mathématiciens eux-mêmes à se familiariser avec le contenu de ces espaces.

Jean-François Colonna a également réalisé un grand nombre de visualisations pour les physiciens et les mathématiciens ; savamment retravaillées, « peintes », elles sont devenues de véritables œuvres d'art qui ont déjà fait chez nous l'objet d'expositions.Pour la résolution d'un problème classique, trouver les valeurs de l'inconnue qui annulent un polynôme, Bahman Kalantari a étendu une méthode déjà employée par Newton dans un cas simple. L'algorithme s'accompagne de la création de domaines que l'on peut colorier. Les résultats visuels sont parfois fascinants. Ils l'ont conduit à développer un procédé nouveau et puissant de création artistique, certes encore inconnu en France. Le procédé est également ludique et instructif. Particulièrement dans le cas présent, les mathématiques sont au service de l'art, qui, reconnaissant, vient épauler les mathématiques.

Nathaniel Friedman est un mathématicien, mais également un sculpteur. Le sculpteur aime l'éclat de la matière autant que le génie de ses formes. La Nature donne parfois à ces dernières un aspect fractal. On y découvre alors, malgré une similitude d'apparence, l’expression d'une délicate et séduisante infinie variété de motifs. C'est ce caractère que Nat Friedman a choisi de montrer dans ses œuvres toutes récentes.

L'œuvre du peintre Dick Termes est originale : il peint non pas sur des toiles mais sur des sphères de manière à représenter la totalité de l'espace qui environne ces sphères.De ce fait, il soulève la curiosité du mathématicien car il a instinctivement reproduit des procédés utilisés par ailleurs par les topologues, ce qui l'a conduit alors, du point de vue technique, à faire appel à plusieurs centres de perspective. L'artiste est fécond, nombre de ses peintures sont le fruit de son imagination.

C’est également le cas de Jean Constant. Il construit ses tableaux à partir de trames mathématiques parfaitement visibles. Ces trames lui ont été fournies par le mathématicien Richard Palais. Ce sont des visualisations fines en trois dimensions soit des nombreux objets classiques, soit de surfaces obtenues par Richard Palais lui-même, provenant de la résolution d'équations aux dérivées partielles attachées à la théorie physico-mathématique dite des solitons. Jean Constant a amplement enrichi ces trames, et créé une famille impressionnante et chaleureuse de tableaux hauts en couleur, plein de vitalité.

Au sortir de cette exposition, le visiteur ne manquera pas de s'interroger encore sur les raisons de l'activité artistique de l'homme dont on rencontre ici la diversité des manifestations.Il n'est pour moi pas de doute que l'une des motivations parmi les plus profondes qui la sous-tend est, liée à la nécessité, la volonté de saisir l'espace, de le maîtriser, ce qui implique sa compréhension, fille aînée de sa représentation.

C.P. Bruter

Université Paris XII, Paris. France