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MATHÉMATIQUES & ARTS |
Exposition
itinérante & Lectures |
Présentée
initialement à l' Institut
Henri Poincaré, Paris |
22
Janvier – 30 Juin, 2005 |
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- BANCHOFF Thomas
- Mathématicien
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- Ph.D. de l'University of California, Berkeley, en 1964, sous la direction de Shiing-Shen Chern. Benjamin Peirce Instructor pendant deux ans à Harvard, puis Research Associate à l'Université d'Amsterdam pendant un an avant de rejoindre Brown University in 1967. Président de la Mathematical American Association pour l'année 1999-2000. Il a travaillé avec des informaticiens depuis 1968, pour visualiser des objets et des phénomènes dans les espaces à trois et quatre dimensions. En 1978, son film «The Hypercube: Projections and Slicing», réalisé avec l'informaticien Charles Strauss, reçut le Prix de la Recherche Fondamentale au Festival International du Film Scientifique et Technique à Bruxelles. La même année, l'invitation à donner une conférence au Congrès International de Mathématiques d'Helsinki lui permit de projeter le premier film réalisé sur ordinateur montrant des animations géométriques.
- http://www.math.brown.edu/TFBCON2003/art/wecome.html
- http://www.math.union.edu/~dpvc/professional/brief.html
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Les images suivante, mises sous la forme présente par Davide Cervone, furent créées au début des années 1980 par Huseyin Kocak, Fred Bisshopp, David Laidlaw, David Margolis, et Thomas Banchoff. |
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Stereographic Projection of a Sphere
La projection stéréographique à partir d’un point d’une sphère (le centre de projection) projette celle-ci sur un plan de la manière suivante : les cercles passant par le point de projection deviennent des droites du plan, les autres cercles tracés sur la sphère deviennent des cercles du plan. On voit ici sur une sphère des bandes colorées circulaires et leur projection sur un plan situé sous la sphère. Les projections d’un tore creux (la surface d’un pain en forme de couronne) qui apparaissent dans In- and Outside the Torus et Hopf-Link Torus sont du même type. |
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Pendulum Tori
Le nom vient du fait que ces tores peuvent être employés à la représentation du système physique connu sous le nom de double pendule : il est constitué d’un second pendule placé et se balançant à l’extrémité d’un premier pendule. Pour un rapport donné entre les longueurs des deux pendules, les différentes positions du système correspondent aux points d’un tore fixe à l’intérieur de la famille représentée ici, liée à la constitution de la sphère dans l’espace à quatre dimensions. |
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In- and Outside the Torus
On peut fabriquer la sphère dans l’espace à quatre dimensions à partir de deux tores pleins (deux pains ayant chacun la forme d’une couronne), en les accolant par leur surface, le tore (creux). Ce tore creux de liaison est situé dans l’espace à quatre dimensions, sa forme est peu visible. On se l’imagine mieux par ses projections stéréographiques dans l’espace usuel, le centre de projection étant situé sur ce tore. Des cercles (dits de Hopf) tracés sur ce même tore sont représentés ici par des bandes colorées. |
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Hopf links
Un tore plein peut être décomposé en lamelles fines formées de tores creux aux rayons de plus en plus petits, le stade final étant un cercle. La sphère de l’espace à quatre dimensions peut être conçue comme l’association de deux tores pleins soudés par le tore creux de liaison qu’est leur surface. On a représenté ici les projections stéréographiques dans l’espace à trois dimensions de deux tores creux, l’un vert appartenant à l’un des tores pleins, l’autre rouge appartenant à l’autre tore plein. Des tores creux intermédiaires sont représentés par des bandes bleues peintes sur ces tores. |
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