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MATHÉMATIQUES & ARTS |
Exposition
itinérante & Lectures |
Présentée
initialement à l' Institut
Henri Poincaré, Paris |
22
Janvier – 30 Juin, 2005 |
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IUFM
Bonneuil, Bonneuil sur Marne, 4
- 16 Janvier 2006 |
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| Introduction
a l'exposition par Claude Bruter |
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| Fiche 1 |
| La
création de l’univers mathématique
a été réalisée à partir
de la représentation symbolique
de quelques propriétés
du monde physique particulièrement
pertinentes et stables. C’est à partir
de ces données que les mathématiciens
ont développé ensuite leur
théorie sans avoir forcément
le besoin d’en référer
au monde physique originel.
La mathématique
peut donc être considérée
comme une physique abstraite, ce qui
explique son emploi avec succès
en physique théorique.
L’univers
mathématique se compose de diverses
galaxies ou sociétés, appelées
parfois théories, qui interagissent
les unes avec les autres : elles
prennent appui les unes sur les autres
pour mieux se développer.
On rencontrera
dans cette exposition des illustrations
et des objets appartenant principalement
au monde de la géométrie,
ce terme étant pris dans un sens
large.
[La géométrie
se consacre à l’étude
des formes des objets, à celle
de leur genèse, d’où son
intérêt en physique.
L’intérêt
est d’autant plus grand que les
physiciens représentent souvent
des propriétés des objets
par des formes : par exemple on
peut représenter le poids d’un
objet par un rectangle de dimension adaptée. |
| Fiche 2 |
| Un
thème étudié en
géométrie, et qui trouve
en partie son origine dans les travaux
des cristallographes, est celui de la
manière dont on peut remplir l’espace
par des domaines aux formes précises
appelés carrelages, pavés
(ou souvent tuiles par les anglo-saxons).
Ce thème
est illustré ici par des oeuvres
de David Austin & Bill Casselman,
Patrice Jeener, Michael Field, Mylène
Poenaru, et Richard Wright. |
| Fiche 3 |
| Le
support géométrique de
la théorie de la relativité est
la géométrie dite hyperbolique,
celle qui est présente sur cette
sorte de vase parfait qu’est la
surface d’un hyperboloïde
de révolution à deux nappes.
La projection stéréographique
de cet objet conduit à une représentation
plane appelée le plan hyperbolique
de Klein. On peut réaliser différents
pavages de ce plan : Irène
Rousseau nous montre un tel pavage tapissé de
diverses mosaïques. |
| Fiche 4 |
| Un
autre thème d’un grand intérêt
en physique est celui qui porte le nom
générique de surfaces minimales,
comme celles par exemple associées
aux bulles de savon et aux mousses :
des oeuvres de Jean Constant, Patrice
Jeener et John Sullivan illustrent ce
thème. |
| Fiche 5 |
| Proches
des transformations qui adviennent en
embryologie, sont celles qui se produisent
au cours du retournement de la sphère
(la sphère est un objet creux,
on la « retourne » sans
la déchirer de sorte que la face
intérieure devienne la face extérieure,
et vice-versa). Ce retournement est illustré ici
par une oeuvres de John Sullivan, et
par des oeuvres de François Apéry
et Patrice Jeener qui représentent
un objet intermédiaire au cours
de ce retournement appelé la surface
de Boy. |
| Fiche 6 |
| Au
premier-second siècle de notre ère,
le géographe astronome et mathématicien
Ptolémé a donné un
procédé pour établir
des cartes de géographie, où les
angles entre directions sur la terre
sont parfaitement reproduits. Ce procédé est
appelé la projection stéréographique :
une source lumineuse étant placée
au pôle nord par exemple, l’ombre
de toute partie de l’hémisphère
nord sur un plan passant par l’équateur
est la projection stéréographique
de cette partie. On emploie cette projection
non seulement pour tracer des cartes,
mais aussi pour représenter sur
des espaces de dimensions plus faibles
des objets, comme des sphères
ou des bouées (tores), situés
dans des espaces de dimensions élevées.
Les tores
en particulier peuvent être les
supports de trajectoires représentant
des mouvements périodiques comme
ceux des pendules. Un certain mode
de leur assemblage permet aussi de
reconstituer des sphères.
Tous ces thèmes
sont ici illustrés par les oeuvres
que Thomas Banchoff a réalisées
avec l’aide de David Cervone. |
| Fiche 7 |
| A
l’aide par exemple de procédures
récurrentes, on parvient à fabriquer
des objets présentant des propriétés
d’auto-similarité : à des échelles
très différentes d’observation
de ces objets, on observe la présence
des mêmes formes, un phénomène
très présent dans la nature
On atteint le royaume du fractal, illustré ici
par des oeuvres de Nat Friedman et de
Jean-François Colonna. |
| Fiche 8 |
| L’étude
des mouvements des fluides, les façons
dont se propagent les vagues, les ondes
diverses, ont fait l’objet de nombreux
travaux de la part des physiciens et
des mathématiciens. Il arrive
que certaines vagues se croisent sans
se détruire, on les appelle des
ondes solitaires ou solitons. Leur représentation
mathématique conduit à des
surfaces peu communes, illustrées
notamment dans plusieurs tableaux du
peintre Jean Constant. |
| Fiche 9 |
| Les
courbes ou bien des surfaces, de nombreuses
formes d’objets, peuvent se représenter à l’aide
d’équations, et être
en particulier obtenues par la résolution
d’équations polynômiales
p(x) = 0 (trouver x) : on les appelle
alors des courbes et des surfaces algébriques.
Développant un algorithme de résolution,
Bahman Kalantari a été amené à colorier
certains domaines d’approximation
des solutions ; il en résulte
des créations artistiques inattendues
qu’on peut voir en relief à travers
des lunettes polarisantes. |
| Fiche 10 |
D’autres
objets algébriques peuvent être
matérialisés par des sculptures :
c’est le cas des mobiles coniques
de Philippe Charbonneau, des polyèdres
de George Hart.
On est peu
informé sur le degré de
familiarité des Anciens avec
les objets de la nature ayant des formes
polyédriques, alors qu’on
les rencontre bien sûr dans la
neige, dans les cristaux comme ceux
du béryl ou quartz et qui auraient
pu être montés en bijoux,
comme ceux de pyrite, fréquents
dans cette Sicile où Pythagore
exerça. Le catalogue de pierres
donné traité par Pline
dans son Histoire naturelle,
serait inspiré d’une oeuvre
de Xénocrate, le successeur
de Platon à l’Académie.
Les travaux de l’école
grecque en matière de polyèdres
aurait donc bien une part de leur motivation
dans la description de la réalité physique.
On rencontre également
les polyèdres dans le règne
animal : les squelettes des radiolaires
ont des formes polyédriques typiques,
tout comme les cellules constituant les
rayons de miel. Les formes polyédriques
sont aussi présentes dans le règne
végétal, par exemple dans
les pépins de la grenade, un fait
que Pline avait déjà relevé,
on les trouve aussi dans les bourgeons
de fleurs comme par exemple chez pyracantha,
le buisson ardent.
De telles
formes traduisent l’équilibre
des forces internes en présence,
les centre des polyèdres étant
situé au voisinage des points
d’équilibre de ces forces.
Ces équilibre assurent la remarquable
stabilité des polyèdres.
Leurs formes
exemplaires, par leur simplicité et
leur signification, ont toujours inspiré mathématiciens
et artistes. |
| Fiche 11 |
Sans
rien connaître aux mathématiques,
le sculpteur John Robinson a créé des
pièces dont la forme, celle par
exemple d’un ruban de Möbius
ou bien du noeud de trèfle, était
souvent familière aux mathématiciens.
De nombreuses universités de langue
anglaise ont fait appel à ce sculpteur
pour embellir leurs sites. |
| Fiche 12 |
La représentation
par projection stéréographique
reste un outil encore largement employé (voir
la fiche 6). Vers la fin du XVIIIe siècle,
le mathématicien Gaspard Monge
a développé une nouvelle
technique de représentation des
formes dans l’espace usuel. Elle
fait appel à deux projections
de la forme, l’une dans un plan
horizontal, l’autre dans le plan
vertical. Par ce moyen, et utilisant
les propriétés de la perspective
linéaire, on peut représenter
de manière très précise
les intersections de formes, par exemple
celle d’un cylindre et d’un
tore ou d’une sphère. Cette
représentation porte le nom d’ « épure »,
et la théorie est celle de la « géométrie
descriptive ». L’arrivée
des ordinateurs a rendu caduque l’emploi
de cette technique. Enseignée
autrefois, elle a permettait la réalisation
de très beaux dessins, tels que
ceux réalisés par Boris
Assancheyev. |
| Fiche 13 |
En développant
la théorie mathématique
de la perspective, les artistes de la
Renaissance ont assis leur art sur une
théorie scientifique. Cette théorie
n’est bien adaptée qu’à la
représentation sur des surface
planes du spectacle qui se présente
face au peintre. La technique a été quelque
peu étendue par le peintre Dick
Termès : il peint sur des
sphères son environnement complet,
aussi bien ce qui lui fait face, que
ce qui est derrière, dessus, dessous,
sur les côtés. Comment s’y
prend-il, et quels sont les liens de
sa technique avec la géométrie
moderne ? |
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| L'
exposition itinérante Mathematiques
et Arts a été réalisée
avec le soutien de: |
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